 |
Enoncé
type :
Attention
: les vecteurs sont notés ici en
gras.
Une
balle de ping pong lestée, de masse m = 11,73 g,
est lancée en l'air avec un vecteur vitesse
initial Vo
incliné d'un angle ?
par
rapport à l'horizontale. A t = 0, la balle se
trouve au centre du repère sur le bord de la table
à gauche (parabole
la plus petite sur la photo).
On négligera l'action de l'air. On prendra g = 9,8
m/s2 ; ?
= 54° ; Vo =
4,0 m/s.
1) Etablir l'équation différentielle du mouvement
puis les équations horaires du mouvement du centre
de gravité G de la balle en fonction des données.
2) Etablir
l'équation
de la
trajectoire.
3) Calculer : a) la durée du vol de la balle pour
atteindre l'axe des x ; b) la portée du tir lorsque
la
balle touche
l'axe des x. |
|
|
CONSIGNES
|
CORRECTION |
| ?
Définir le système : |
1) Le système est la balle
de ping pong. |
| ?
Définir le référentiel galiléen : |
On choisit le référentiel
terrestre galiléen. |
| ? Faire
le
bilan des forces : |
Bilan des forces
extérieures : le poids P. |
| ? Faire
le
schéma des forces en
G
centre de gravité : |
 |
?
Appliquer une (ou plus) loi de Newton :
Remarque :
la somme vectorielle des forces ne fait pas intervenir de
soustraction ! |
Deuxième
loi
de Newton : P = m a
soit mg
= ma ou bien
encore g = a
(1) |
| ?
Projeter cette relation sur les axes x,y,z : |
Par
projection sur les axes x, y et z, la relation (1) devient :
gx = ax , gy = ay et
gz = az
soit encore ax = 0 (car gx =
0), ay = 0 (car gy = 0)
et az = - g (car gz = -g) |
| ?
Faire apparaître la dérivée de
la vitesse : |
Par
définition , a = dV/dt
d'où les équations
différentielles
du mouvement en x, y et z :
dVx/dt = 0 (2) ; dVy/dt = 0 (3)
; dVz/dt = - g (4). |
| ?
Intégrer les équations différentielles : |
Par
intégration (recherche de la primitive) des relations
(2), (3) et (4) : Vx = K1
(5) ; Vy = K2 (6) ; Vz
= - gt + K3 (7)
où K1, K2 et K3
sont des constantes à déterminer. |
?
Déterminer les constantes à l'aide des conditions initiales
:
(les équations horaires ne
sont pas à connaître par coeur !) |
A t =
0, Vxo = Vo.cos? d'où Vx
= K1 = Vo.cos?
puisque Vx étant constant Vx
= Vxo aussi.
A t = 0, Vyo = 0 d'où Vy
= K2 = 0 puisque Vy étant
constant Vy = Vyo aussi.
A t = 0, Vzo = Vo.sin? d'où Vz(0)
=
-g x 0 + K3 =
Vo.sin? donc K3 = Vo.sin?.
D'où les équations
horaires
du mouvement en Vx, Vy et Vz :
Vx(t) = Vo.cos? (5)
; Vy(t) = 0 (6) ; Vz(t) = -
gt + Vo.sin? (7) |
| ?
Faire apparaître la dérivée de
la position : |
Par
définition , V = dOM/dt
d'où les nouvelles équations
différentielles
du mouvement en x, y et z :
dx/dt = Vo.cos? (5) ; dy/dt = 0
(6) ; dz/dt = - gt + Vo.sin?
(7). |
| ?
Intégrer les équations différentielles : |
Par
intégration (recherche de la primitive) des relations
(5), (6) et (7) :
x(t) = (Vo.cos?).t + K4
(8) ; y(t) = K5 (9) ; z(t) = - ½gt2
+ (Vo.sin?).t + K6
(10)
où K4, K5 et K6
sont des constantes à déterminer. |
?
Déterminer les constantes à l'aide des conditions initiales
:
(les équations horaires ne
sont pas à connaître par coeur !) |
A t = 0, la balle se trouve
au centre du repère, donc x(0) = x0 = 0, y(0) = y0
= 0 et z(0) = z0 = 0. Et si on
remplace t par 0 dans les relations (5), (6)
et (7) on trouve :
x(0) = K4
= 0 ; y(0) = K5 = 0 ; z(0) = K6 =
0
D'où les équations
horaires
du mouvement en x, y et z :
x(t) = (Vo.cos?).t (8) ; y(t) =
0 (9) ; z(t) = - ½gt2 + (Vo.sin?).t
(10) |
?
Faire un changement de variable :
(l'équation cartésienne
n'est pas à connaître par coeur !) |
2) D'après (8), t = x/(Vo.cos?)
d'où en insérant ce résultat dans (10) :
z = - ½g(x/(Vo.cos?))2
+ (Vo.sin?).(x/(Vo.cos?))
qui
peut se simplifier en :
z = - ½gx2/(Vo2.cos2?)
+ (tan?).x (11) qui est l'équation
cartésienne de la trajectoire. |
?
Chercher le paramètre numérique liée à la question :
Remarque
: attention aux chiffres significatifs ! |
3)a) Lorsque le vol de la
balle se termine, elle touche l'axe des x en z = 0 ce qui
donne en reprenant l'équation (10) :
0 = - ½gt2 + (Vo.sin?).t
= (- ½gt + (Vo.sin?)).t
qui a pour solution t = 0 (impossible) ou bien t = 2(Vo.sin?)/g
= 0,66 s.
b) Lorsque
le
vol de la balle se termine, elle touche l'axe des x
en z = 0 ce qui donne en reprenant l'équation (11) :
0 = - ½gx2/(Vo2.cos2?)
+ (tan?).x = (- ½gx/(Vo2.cos2?)
+ (tan?)).x qui a
pour solution x = 0 (impossible) ou bien x =
2(Vo2.cos2?.tan?)/g
= 1,6 m.
|
