Satellites

schéma des forces question 1 (u est un vecteur unitaire) : (question 5)	Enoncé type :  Attention : les vecteurs sont notés ici en gras. La Lune de masse ML = 7,3.1022 kg orbite autour de la Terre à une distance moyenne R = 384400 km. On négligera l'action des autres corps célestes (Soleil). La masse de la Terre est MT = 6,0.1024 kg. La constante de gravitation universelle est G = 6,67.10-11 N.kg-2.m2. 1) Donner les caractéristiques du vecteur accélération du centre de gravité G de la Lune. 2) Montrer que le mouvement ciculaire uniforme est une solution possible de l'équation du mouvement. 3) En déduire l'expression puis la valeur de la vitesse de la Lune. 4) Exprimer puis calculer la période de révolution de la Lune en jours. 5) On souhaite mettre un satellite S en orbite circulaire autour de la Terre et à une distance R' égale au quart de celle de la Lune. a) Déterminer sa période de révolution ainsi que sa vitesse. b) Un astronaute présent sur ce satellite est-il en impesanteur ?
CONSIGNES	CORRECTION
? Définir le système :	1) Le système est la Lune.
? Définir le référentiel galiléen :	On choisit le référentiel géocentrique considéré comme galiléen sur une courte durée.
? Faire le bilan des forces :	Bilan des forces extérieures : la force gravitationnelle F exercée par la Terre
? Faire le schéma des forces en G centre de gravité :	(voir encadré en haut à gauche : u est un vecteur unitaire)
? Appliquer la deuxième loi de Newton :	Deuxième loi de Newton : F = ML. a   soit -GMLMTu/R2 = ML. a soit encore a = -GMTu/R2  (1) L'accélération est donc radiale : la direction de a est celle de la droite reliant les centres de la terre et de la Lune. L'accélération est aussi centripète : le vecteur a est orienté vers le centre de la Terre. La valeur de l'accélération est a = GMT/R2
? Vérifier que le mouvement circulaire uniforme est solution de la deuxième loi de Newton :	2) Puisque l'accélération est aussi radiale lors d'un mouvement circulaire uniforme, alors ce type de mouvement (circulaire uniforme !) est bien solution de l'équation du mouvement (c'est à dire de la deuxième loi de Newton !).
? Appliquer l'expression de l'accélération pour un mouvement circulaire uniforme : Attention aux unités (R en mètres, M en kg) et attention aux chiffres significatifs.	3) Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, l'accélération s'écrit aussi a = -(V2/R)u  (2) d'où l'expression de la valeur de l'accélération : a = (V2/R) = GMT/R2 et celle de la vitesse après simplification (la racine carré est ici donnée par l'exposant ½) : V = (GMT/R)½ = 1,0.103 m/s.
? Appliquer la définition d'une vitesse moyenne puis celle du périmètre d'un cercle : Attention aux unités (R en mètres, V en m/s) et attention aux chiffres significatifs.	4) V = d/T avec d = 2?R le périmètre du cercle décrit par la Lune et T la période de révolution lunaire. D'où T = 2?R/V = 2,4.106 s = 27 jours environ.
? Appliquer la troisième loi de Kepler : Attention aux unités (R en mètres, T en s, V en m/s) et attention aux chiffres significatifs.	5) a) D'après la troisième loi de Kepler, le rapport T2/R3 est constant pour un même astre atracteur (ici la Terre) et ses satellites (ici la Lune et le satellite S).   T (s) R (m) T2/R3 Lune 2,4.106  384400000 9,9.10-14 satellite S x 384400000/4 = 9,6.107 9,9.10-14 D'où x2/RS3 = 9,9.10-14 et x = TS = 3,0.105 s D'autre part TS = 2?R/VS d'où VS = 2?R/TS = 2,0.103 m/s.
? Définir le système et le référentiel :	5) b) Le système est l'astronaute. On garde le même référentiel.
? Faire le bilan des forces :	Bilan des forces extérieures : la force gravitationnelle F' exercée par la Terre et la réaction R exercée par le satellite.
? Appliquer la deuxième loi de Newton à l'astronaute puis au satellite :	Deuxième loi de Newton : F' + R = mA. aA (3) avec mA la masse de l'astronaute et aA son accélération. Or l'astronaute a le même vecteur accélération que le satellite S : aA = aS = -GMTu/(R')2 Cette dernière relation provenant de l'application de la deuxième loi de Newton au satellite uniquement. D'autre part F' = -GmAMTu/(R')2  d'où (3) est équivalent à : -GmAMTu/(R')2 + R = -mAGMTu/(R')2 ce qui implique que R = 0 En conclusion, la sensation de pesanteur est directement relié à la force exercée par le support (satellite, siège, sol...) : sans elle, on est en impesanteur c'est à dire en absence apparente de pesanteur, ce qui ne signifie pas que la force gravitationnelle exercée par la Terre ne soit plus opérante (car dans le cas contraire, pour quelle raison l'astronaute - ou le satellite - resterait-il en orbite autour de la Terre ?) .

Autre exercice

. Corps M (kg) R (106 km) T (jours) Soleil ?  0 0 Mercure 3,3.1023 57,9 88 Vénus 4,9.1024 108,2 224,7 Terre 6,0.1024 149,6 365,25 Mars 6,6.1023 227,9 ? Jupiter 1,9.1027 778,3 4329	Autre exercice : Attention : les vecteurs sont notés ici en gras. Les planètes de notre système solaire orbitent autour du Soleil à une distance moyenne R de son centre et en font le tour complet (révolution) en une durée T. On supposera que les orbites des planètes sont circulaires. On négligera l'action des autres corps célestes (étoiles lointaines). La constante de gravitation universelle est G = 6,67.10-11 N.kg-2.m2. 1) Donner les caractéristiques du vecteur accélération du centre de gravité G d'une planète. Le dessiner sur un schéma. 2) Montrer que le mouvement ciculaire uniforme est une solution possible de l'équation du mouvement. 3) En déduire l'expression de la vitesse V d'une planète. 4) Exprimer le carré de la période de révolution d'une planète T2 en fonction de V puis de la masse du Soleil MS. 5) En déduire : a) La valeur de la masse MS du Soleil. b) La valeur de la vitesse de la planète Mars ainsi que sa période de révolution. 6) La ceinture d'astéroïde se trouve à environ 480 millions de kilomètres du Soleil. Elle est constitué de milliards de corps rocheux dont près de 1 million ont une taille de plus de 1 km de diamètre. La masse totale de ces astéroïdes est d'environ 1/1000 de celle de la Terre. On suppose que sans la présence relativement proche de Jupiter, qui exerce une force gravitationnelle non négligeable, une planète aurait pu se former à partir de ces milliards d'astéroïdes. Déterminer la période de révolution ainsi que la vitesse de cette hypothétique planète.
CONSIGNES	REDACTION
? Définir le système :
? Définir le référentiel galiléen :
? Faire le bilan des forces :
? Faire le schéma des forces en G centre de gravité :
? Appliquer la deuxième loi de Newton :
? Vérifier que le mouvement circulaire uniforme est solution de la deuxième loi de Newton :
? Appliquer l'expression de l'accélération pour un mouvement circulaire uniforme : Attention aux unités (R en mètres, M en kg) et attention aux chiffres significatifs.
? Appliquer la définition d'une vitesse moyenne puis celle du périmètre d'un cercle : Attention aux unités (R en mètres, V en m/s) et attention aux chiffres significatifs.
? Appliquer la troisième loi de Kepler : Attention aux unités (R en mètres, T en s, V en m/s) et attention aux chiffres significatifs.
? Définir le système et le référentiel :
? Appliquer la troisième loi de Kepler : Attention aux unités (R en mètres, T en s, V en m/s) et attention aux chiffres significatifs.

Pour aller plus loin : visitez le site de l' Observatoire de Paris qui proposent des exercices sur les lois de Kepler et sur la vitesse d'évasion...