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Enoncé
type :
Attention
: les vecteurs sont notés ici en
gras.
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On
considère un mobile auto-porteur S (sur coussin
d'air) associé à deux ressorts horizontaux de
constante de raideur k chacun.
On écarte le solide S de sa position d'équilibre
et on réalise l'enregistrement ci-dessous qui
représente l'élongation x du centre d'inertie de S
en fonction de la date t. On négligera l'action de
l'air ambiant.
1) Faire le bilan des forces extérieures exercées
sur S. On précisera la simplification que l'on
peut faire avec les ressorts.
2) Reconstruire la trajectoire réelle de S.
3) Etablir l'équation différentielle du mouvement.
4) Déterminer la période, l'amplitude et la phase
à l'instant initial sachant qu'une solution de l'équation
différentielle
du mouvement est x(t) = Xmcos(2?t/To
+ ?).
5) A quelle condition l'équation
horaire
x(t) = Xmcos(2?t/To
+ ?) est-elle bien solution
de
l'équation
différentielle
du mouvement ?
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CONSIGNES
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CORRECTION |
| ?
Définir le système : |
1) Le système est le mobile
auto-porteur S. |
| ?
Définir le référentiel galiléen : |
On choisit le référentiel
terrestre galiléen. |
| ? Faire
le
bilan des forces : |
Bilan
des
forces extérieures : le poids P,
la réaction
normale du coussin d'air RN
et la force de rappel F
exercée par les deux ressorts qui sont assimilables à un
unique ressort de constante de ressort k' = 2k. |
| ? Faire
le
schéma des forces dans
un
cas de figure (x < 0 ou x > 0) : |
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| ?
Utiliser le graphique x = f(t) pour retrouver chaque
valeur numérique de x puis les placer sur un axe
horizontal en faisant attention aux valeurs négatives : |
2)
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? Appliquer la seconde loi
de Newton :
Remarque
: la somme vectorielle des forces ne fait pas intervenir
de soustraction !
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3) Deuxième loi de Newton :
P + RN
+ F
= m a
(1)
avec F
= -k'xu où est u
un vecteur unitaire sur l'axe des x (orienté vers la
droite). |
| ?
Projeter cette relation sur l'axe x : |
Par
projection sur l'axe x la relation (1) devient : Fx
= max soit -k'x = max = md2x/dt2
ou encore md2x/dt2
+ k'x = 0 qui est l'équation différentielle du mouvement. |
?
Pour déterminer To
et Xm
utiliser le graphique x = f(t) et compléter le tracé
de la courbe à la main si nécessaire :
Remarque
: attention aux chiffres significatifs ! |
4)
D'après le graphique x
= f(t) on trouve directement : To =
1,6000 s et Xm = 0,1400
m. |
? Pour
déterminer ?
utiliser les
expressions de x(t) et de vt) lorsque t = 0. Puis comparer
le signe de v(o) avec
celui du coefficient directeur a
de la tangente à l'origine de
la courbe x(t) :
Remarque
: attention aux chiffres significatifs ! |
A
t = 0, x(0) = Xmcos?
= 0,1400cos? = -0,00500
d'où cos?
= -0,0357 ce qui donne deux possibilité pour la
valeur de ?
: ?1
= 0,0357
rad ou ?2
= -0,0357
rad.
Or
v(t) = -2?Xm/Tosin(2?t/To
+ ?)
et v(o) = -2?Xm/Tosin?
: le signe de v(o) dépend donc du signe de sin?.
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D'autre part, v(o) <
0 car le coefficient directeur a
de la tangente à l'origine à la courbe x= f(t) est
lui-même négatif et on sait que v(o) = (dx/dt)t = 0
= a.
On peut donc conclure que sin?
> 0, d'où ?
= ?1
= 0,0357
rad. |
| ? Pour
vérifier que l'équation horaire x(t) proposée est bien
solution de l'équation différentielle du mouvement, il
suffit de dériver deux fois de suite x(t) puis d'insérer le
résultat dans l'équation différentielle : |
5)
x'(t) = v(t)
= -2?Xm/Tosin(2?t/To
+ ?)
v'(t) = a(t)
=
-(2?/To)2Xmcos(2?t/To
+ ?)
= -(2?)2.x(t)
D'où md2x/dt2
+ k'.x(t) = -m(2?)2.x(t)
+ k'.x(t) = 0
Soit encore [-m(2?/To)2
+ k'].x(t) = 0
Ce qui est vrai si x(t) = 0 ou [-m(2?/To)2
+ k'] = 0
La première solution étant impossible (x n'est pas toujour
nul) on retiendra que [-m(2?/To)2
+ k'] = 0.
Ce qui implique que To
= 2??(m/k)½.
En conclusion, l'équation horaire x(t) proposée est bien
solution de l'équation différentielle du mouvement à
condition que To
= 2??(m/k)½.
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