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Enoncé
type :
Attention
: les vecteurs sont notés ici en
gras.
Une
balle de tennis, de masse m = 56 g, est lachée en
l'air à
t = 0
depuis une hauteur de 3,30 m.
On
négligera l'action de l'air et on utilisera un axe
z descendant dont l'origine est au niveau de la
balle à
t = 0.
On prendra g = 9,8 m/s2.
1) Etablir l'équation différentielle du mouvement
puis les équations horaires du mouvement du centre
de gravité G de la balle en fonction des données.
2) Calculer
: a) la durée de la chute de la balle pour
atteindre le sol ; b) la vitesse de la balle
lorsqu'elle arrive au sol. |
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CONSIGNES
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CORRECTION |
| ?
Définir le système : |
1) Le système est la balle
de ping pong. |
| ?
Définir le référentiel galiléen : |
On choisit le référentiel
terrestre galiléen. |
| ? Faire
le
bilan des forces : |
Bilan des forces
extérieures : le poids P. |
| ? Faire
le
schéma des forces en
G
centre de gravité : |
 |
?
Appliquer une (ou plus) loi de Newton :
Remarque :
la somme vectorielle des forces ne fait pas intervenir de
soustraction ! |
Deuxième
loi
de Newton : P = m a
soit mg
= ma ou bien
encore g = a
(1) |
| ?
Projeter cette relation sur les axes x,y,z : |
Par
projection sur l'axe z, la relation (1) devient : gx
= ax
soit az = g (car gz
= g) |
| ?
Faire apparaître la dérivée de
la vitesse : |
Par
définition , a = dV/dt
d'où l'équation
différentielle du mouvement : dVz/dt
= g (2) |
| ?
Intégrer l'équation différentielle : |
Par
intégration (recherche de la primitive) de la relations (2)
:
Vz = gt + K1
(3)
où K1 est une constante à déterminer. |
?
Déterminer la constante à l'aide des conditions initiales :
(les équations horaires ne
sont pas à connaître par coeur !) |
A t =
0, Vzo = 0 d'où Vz(0)
= g x 0 + K1
= 0 donc K1 = 0.
D'où l'équation
horaire du mouvement : Vz(t)
= gt
(4) |
| ?
Faire apparaître la dérivée de
la position : |
Par
définition , V = dOM/dt
d'où la nouvelle équation
différentielle
du mouvement en z : dz/dt = gt |
| ?
Intégrer la nouvelle équation différentielle : |
Par
intégration (recherche de la primitive) de (4) :
z(t) = ½gt2 + K2
(5)
où K2 est une constante à
déterminer. |
?
Déterminer la constante à l'aide des conditions initiales :
(les équations horaires ne
sont pas à connaître par coeur !) |
A t = 0, la balle se trouve
au centre du repère, donc z(0) = z0
= 0.
Et si on remplace t par 0 dans la relation (5) on trouve :
z(0) = K2 = 0
d'où l'équation
horaire du mouvement en z : z(t)
= ½gt2 (6) |
?
Chercher le paramètre numérique liée à la question :
Remarque
: attention aux chiffres significatifs ! |
3) a) Lorsque le vol de la
balle se termine, elle touche le sol en z = 3,30 m ce qui
donne en reprenant l'équation (6) : t = 0,82 s.
b) Puis en reprenant
l'équation (4) : Vz(t) = gt = 9,8 x 0,82 =
8,0 m/s
|
